一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學

  業界資訊     |      2023-03-25 01:48

經常聽到有童鞋抱怨7年級的二元一次方程不好學,其實歸根結底就是對一元一次方程掌握程度不深,因為一元一次方程就是在為你學習二元一次方程打基礎的。盡管如此,你們也不必擔心,數學加小編今天就帶著你們再次領率一遍一元一次方程,鞏固你們的后防線!

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(1)

一元一次方程

一、基礎知識點及定義:

1.等式與等量:用“=”號連接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”!

隨手一試:根據下面的條件能列出方程的是:( )

C.a、b之和的60 D.甲的3倍與乙的2倍之差

2.等式的性質:

等式性質1:等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式,所得結果仍

是等式;

隨手一試:(1)下列變形正確的是( )

A.若x=y,則x 2m=y 2m B.若a=b,則a c=b﹣c

(2)已知ax=ay,下列等式中成立的是( )

A.x=yB.ax 1=ay﹣1C.ax=﹣ayD.3﹣ax=3﹣ay

3.方程:含未知數的等式,叫方程.

其中是方程的個數為( )

A.3 B.4C.5D.6

4.一元一次方程的概念:只含有一個未知數(含未知數項的系數不是零)且

未知數的指數是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式:ax b=0

(x是未知數,a、b是已知數,且a≠0).最簡形式:ax=b(x是未知數,ab是

已知數,且a≠0).

隨手一試:(1)下列方程中,是一元一次方程的為( )

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(6)

A.2 B.3 C.4 D.7

(3)已知(a 1)x2﹣(a﹣1)x 8=0是關于x的一元一次方程,求代數式

60(2x 2a)(x﹣a) 208的值.( )

A.208 B.-208 C.2008 D.-2008

5.解一元一次方程

方程的解能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解;注意:

“方程的解就能代入”驗算!

解方程求方程的解的過程叫做解方程。

等式性質1:等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式,所得結果仍

是等式;

等式性質2:等式兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數,所得結果仍是等式;

(例題解析)x=﹣2是下列( )方程的解.

解析:A.把x=﹣2代入方程得:左邊=﹣10 7=﹣3,右邊=7﹣4=11,左邊≠右

邊,即x=﹣2不是方程的解;

B.把x=﹣2代入方程得:左邊=﹣12﹣8=﹣20,右邊=﹣16﹣4=﹣20,左邊=右

邊,即x=﹣2是方程的解;

C.把x=﹣2代入方程得:左邊=﹣6﹣2=﹣8,右邊=4﹣2=2,左邊≠右邊,

即x=﹣2不是方程的解;

即x=﹣2不是方程的解,

故選B.

隨手一試:如果2x 3=5,那么6x 10等于( )

A.15B.16C.17D.34

6.移項

移項:方程中的某些項改變符號后,可以從方程的一邊移到另一邊,這樣的

變形叫做移項.

移項依據:(1)移項實際上就是對方程兩邊進行同時加減,根據是等式的性質1;

(2)系數化為1實際上就是對方程兩邊同時乘除,根據是等式的性質2.

移項作用:移項時一般把含未知數的項向左移,常數項往右移,使左邊對含

未知數的項合并,右邊對常數項合并.

注意:移項時要跨越“=”號,移過的項一定要變號。

隨手一試:下列方程變形中,正確的是( )

A.方程3x﹣2=2x 1,移項,得3x﹣2x=﹣1 2

B.方程3﹣x=2﹣5(x﹣1),去括號,得3﹣x=2﹣5x﹣1

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(9)

7.解一元一次方程的一般步驟:整理方程、去分母、去括號、移項、合并同

類項、未知數的系數化為1;(檢驗方程的解).

注意:去分母時不可漏乘不含分母的項。分數線有括號的作用,去掉分母后,

若分子是多項式,要加括號.

(例題解析)方程3x 2(1﹣x)=4的解是( )

分析:方程去括號,移項合并,把x系數化為1,即可求出解

解:去括號得:3x 2﹣2x=4,

解得:x=2,

故選C.

A.1﹣3(x﹣2)=2(x 1) B.6﹣2(x﹣2)=3(x 1)

C.6﹣3(x﹣2)=2(x 1) D.6﹣3x﹣6=2x 2

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經過上面的嘗試,現在來解解下面幾個方程吧,相信你一定可以的

4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 4x-3=4-2x

8.用方程解決問題

列一元一次方程解應用題的基本步驟:審清題意、設未知數(元)、列出方

程、解方程、寫出答案。關鍵在于抓住問題中的有關數量的相等關系,列

出方程.

解決問題的策略:利用表格和示意圖幫助分析實際問題中的數量關系

(例題分析):一個飼養場里的雞的只數與豬的頭數之和是70,雞、豬的腿

數之和是196,求雞的只數?

審題:關于雞兔同籠相關問題:已知雞與豬的頭數之和以及兩

者腿數之和.

設未知數:設雞的只數是x,則豬的頭數為(70﹣x)頭,根據雞、豬

的腿數之和是196,列方程.

列方程:解:設雞的只數是x,則豬的頭數為(70﹣x)頭,

由題意得,2x 4(70﹣x)=196.

解方程: 2x 4(70-x)=196

解:

去括號,得: 2x 280-4x=196

移項,得: 2x-4x=196-280

合并同類項,得: -2x=-84

系數化為1,得: x=42

答: 雞的只數是42只.

隨手一試:(1)某工廠加強節能措施,去年下半年與上半年相比,月平均

用電量減少2000度,全年用電量15萬度.求上半年每月平均用電量?

*(2)中國古代問題:有甲、乙兩個牧童,甲對乙說:“把你的羊給我一只,

我的羊數就是你的羊數的2倍”.乙回答說:“最好還是把你的羊給我一只,

我們羊數就一樣了”.求甲有多少只羊?

9.列一元一次方程解應用題:

讀題分析法:多用于“和、差、倍、分”等問題

仔細讀題,找出表示相等關系的關鍵字,例如:“大、小、多少、是、共、

合、為、完成、增加、減少、配套”之類的,利用這些關鍵字列出文字等式,

并且根據題意設出未知數,最后利用題目中的量與量的關系填入代數式,得

到方程.

(例題分析): 某車間原計劃13小時生產一批零件,后來每小時多生產10件,

用了12小時 不但完成任務,而且還多生產60件,設原計劃每小時生產x件

零件,則所列方程為( )

A.13x=12(x 10) 60B.12(x 10)=13x 60

分析:首先理解題意,找出題中存在的等量關系:實際12小時生產的零件數

=原計劃13小時生產的零件數 60,根據此等式列方程即可.

解:設原計劃每小時生產x個零件,則實際每小時生產(x 10)個零件.

根據等量關系列方程得:12(x 10)=13x 60.

故選B

隨手一試:(1)某企業為嚴重缺水的甲、乙兩所學校捐贈礦泉水共2000件.

已知捐給甲校的礦泉水件數比捐給乙校件數的2倍少400件.設該企業捐給

乙校礦泉水x件,則下列相等關系成立的是( )

A.2x﹣400=2000 B.2x 400=2000

C.2x﹣400=2000﹣xD.2x 400=2000﹣x

(2)某班共有學生x人,其中男生人數占35%,那么女生人數是( )

畫圖分析法:多用于“行程問題”

利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現,仔細讀題,依照

題意畫出有關圖形,使圖形各部分具有特定的含義,通過圖形找相等關系是

解決問題的關鍵,從而取得布列方程的依據,最后利用量與量之間的關系(可

把未知數看做已知量),填入有關的代數式是獲得方程的基礎.

(例題分析):小明從家里騎自行車到學校,每小時騎15km,可早到10分鐘,

每小時騎12km就會遲到5分鐘,問他家到學校的路程是多少km?設他家到學

校的路程是xkm,則據題意列出的方程是( )

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(16)

分析:設他家到學校的路程是xkm,根據每小時騎15km,可早到10分鐘,

每小時騎12km就會遲到5分鐘,列方程即可

解:設他家到學校的路程是xkm,

故選B.

隨手一試:一艘貨船從甲岸順流而下到達乙岸再返回,已知船在靜水中的速

度是40km/h,水流速度是10km/h,且從甲岸順流到達乙岸比從乙岸逆流到達

甲岸所花的時間少1h.設從甲岸到達乙岸的路程為xkm 下列所列方程正

確的是( )

10.實際問題的常見類型:

(1)行程問題:包括[相遇、追及(同時不同地出發、同地不同時出發)]

(單位:路程—米、千米;時間—秒、分、時;速度—米/秒、米/分、

千米/小時)

(例題分析)某人從家里騎自行車到學校.若每小時行15千米,可比預定的時

間早到15分鐘;若每小時行9千米,可比預定的時間晚到15分鐘;求從家里到

學校的路程有多少千米?

分析:找出合適的等量關系,由題意可知,此人不管以多大的速度到達學校路

解:設從家到學校有x千米,

12x 45=20x﹣45

8x=90

解得, x=11.25

答:從家里到學校的路程有11.25千米.

隨手一試:甲、乙兩人繞湖競走,繞湖一周4000m,乙的速度是80m/min,

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(22)

(例題分析)某項工作甲單獨做4天完成,乙單獨做6天完成,若甲先做1天,

然后甲,乙合作完成此項工作,求甲一共做了多少天?

分析:首先要理解題意找出題中存在的等量關系:甲完成的工作量 乙完成

的工作量=總的工作量,根據題意我們可以設總的工作量為單位“1“,

根據效率×時間=工作總量的等式,分別用式子表示甲乙的工作量即可列出

方程.

解:設甲一共做了x天,則乙一共做了(x﹣1)天.

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(24)

隨手一試:某工程,甲單獨做12天完成,乙單獨做8天完成.現在由甲先做3

天,乙再參加做,求完成這項工程乙還需要幾天?

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(25)

(例題分析)某種商品的進價為每件180元,現按標價的九折銷售時,利潤率

為15.2%,求這種商品的標價為多少元?

分析:設這種商品的標價為每件x元,根據按標價的九折銷售為0.9x,利潤率

解:設這種商品的標價為每件x元,

由題意得,0.9x﹣180=180×15.2%.

解得:x=230.4

答:這種商品的標價為230.4元.

隨手一試:(1)某商人一次賣出兩件衣服,一件賺了15%,另一件賠了15%,售

價均為1955元,則在這次生意中商人是賠了還是賺了?

(2)某電器按成本價提高30%后標價,再打八折銷售,售價為2080元.求該電

器的成本價為多少元?

(例題分析)李明五年前存了一份3000元的教育儲蓄,今年到期時的本利和

為3600元,請你幫李明算一算這種儲蓄的年利率.

即可列出相關方程求解.

解:設年利率為x.

由題意得, 3000 3000×x×5=3600

解得, x=0.04

答;年利率為4%.

隨手一試:小張以兩種形式儲蓄了500元,第一種的年利率為3.7%,第二種

的年利率為2.25%,一年后得到利息為15.6元,那么小張以這兩種形式儲蓄的

錢數分別是多少?

(例題解析)某種酒精溶液里純酒精與水的比例為1︰2,現在加進純酒精120g

后配成濃度為75%的酒精溶液,問原有酒精溶液多少克?

出方程.

設原來有酒精溶液為xg,則現在的酒精溶液為(x 120)g,水為2x.

解:設原來有酒精溶液為xg,

解得, x=24

答:原來有酒精溶液為24g.

隨手一試:一收割機收割一塊麥田,上午收割了麥田的25%,下午收割了剩

下麥田的20%,結果剩下6公頃麥田未收割,這塊麥田一共有多少公頃?

(6)順逆流(順逆風)問題:順流速度=靜水速度 水流速度,

逆流速度=靜水速度-水流速度:

(例題解析)輪船沿江從A港順流行駛到B港,比從B港返回A港少用3小時,若

船速為26千米/時,水速為2千米/時,求A港和B港相距多少千米?

分析:輪船沿江從A港順流行駛到B港,則由B港返回A港就是逆水行駛,由于

船速為26千米/時,水速為2千米/時,則其順流行駛的速度為26 2=28千米/時,

逆流行駛的速度為:26﹣2=24千米/時.根據“輪船沿江從A港順流行駛到B港,

比從B港返回A港少用3小時”,得出等量關系:輪船從A港順流行駛到B港所用

的時間=它從B港返回A港的時間﹣3小時,據此可列出方程

解:設A港和B港相距x千米,可得方程:

答:AB兩港相距504千米.

隨手一試:一架飛機在A,B兩城間飛行,順風要5.5小時,逆風要6小時,

風速為24千米/小時.求A、B兩城之間的距離?

(7)等積變形問題:長方體的體積=長×寬×高; 圓柱的體積=底面積×高;

(例題解析)有一塊棱長為4厘米的正方體銅塊,要將它熔化后鑄成長4厘米、

寬2厘米的長方體銅塊,鑄成后的銅塊的高是多少厘米(不計損耗)?

分析:本題涉及到等積變形,即:鍛造前的體積=鍛造后的體積 為出發點,

熔鑄前的正方體體積與熔鑄后的長方體體積相等。

解:設鑄成后銅塊高度為x.

4×4×4=4×2×x

解得, x=8

答:鑄成后銅塊高度為8cm.

隨手一試:一個長方形的周長為36厘米,若長減少4厘米,寬增加2厘米,長

方形變成正方形,求正方形的邊長?

(8)周長、面積、體積問題:

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(34)

(例題解析)如圖,矩形ABCD被分割成六個正方形,其中最小正方形的面積

等于1,則矩形ABCD的面積大???

一元二次方程難學嗎(總說二元一次方程不好學)(35)

解:∵最小正方形的面積等于1,

∴最小正方形的邊長為1,

設右下角的正方形的邊長為x.

∴AB=x 1 (x 2)=2x 3,BC=2x (x 1)=3x 1,

∵最大正方形可表示為2x﹣1,也可表示為x 3,

∴2x﹣1=x 3,

解得x=4,

∴AB=11,BC=13,

∴矩形的面積為11×13=143,

答:矩形ABCD的面積為143.

隨手一試:在矩形ABCD中放入六個長、寬都相同的小長方形,所標尺寸如圖

所示,求小長方形的寬AE?

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二、(附加)含字母系數的方程與絕對值方程

<一>含字母系數的方程

1.關于x的方程ax=b

(2)當a=0,b≠0時,方程無解;

(3)當a=0,b=0時,方程有無數個解,且解為任意數;

A.x=0B.x=1C.x為任意數D.原方程無解

解:2(x-1) 6=3(x 1)-(x-1)

2x-2 6=3x 3-x 1

2x-3x x=3 1 2-6

0?x=0

∴原方程有無窮多解,x為任意數.

隨手一試:解關于x的方程mx-m=nx

2.理解同解方程的定義,再解題:

(1)同解方程的定義為:如果兩個方程的解相同,那么這兩個方程叫同解方

程;反之如果兩個方程是同解方程,那么這兩個方程的解是一樣的;例如

x 1=4與x 51=54的解都是x=3,這兩個方程是同解方程;

且這兩個方程的解相同,求它們的解.()

分析:分別將兩個關于x的方程解出來,得到兩個用含a的代數式表示的解,

根據同解方程的定義,列出等式,建立一個關于a的方程,然后解答.

∵由于①和②是同解方程

解得: a=2

把a=2代入4x﹣a=1得:4x﹣2=1,

隨手一試:若關于x的方程2x﹣4=3m和x 2=m有相同的解,則m的值是( )

A.10B.﹣10C.8D.﹣8

<二>絕對值方程

歸納1

解可化為|x|=a(a≥0)的絕對值的方程,只需把|x|看成一個整體,其余解題

步驟與解一元一次方程相同

(例題分析)19-|x|=100-10|x|

解:-|x| 10|x|=100-19

9|x|=81

|x|=9

x=±9

歸納2

對于形如|ax b|=c(a≠0,a、b、c為常數)的方程,有下列三種情況:

(1)c>0,ax b=±c可求得兩個解.

(3)c<0,無解.

(例題解析)|2x 3|=5

解:由絕對值的意義知,|2x 3|=5

即是 2x 3=±5

由2x 3=5,解得x=1

由2x 3=-5,解得x=-4

(2)解方程|3x 2|=10,方程的解為( )

歸納3

對一次方程|ax b|=cx d,可將它變為ax b=±(cx d),并且檢驗cx d≥0來求

解(注意檢驗)

(例題解析)解方程:|3x 2|=5x-10

解:(解法一)當3x 2 ≥0時,原方程化為 3x 2=5x-10,

解得,x=6.

當3x 2 <0時,原方程化為 -(3x 2)=5x-10,

解得,x=1.

經檢驗,x=6位原方程的解.

(解法二) 有絕對值的意義知,|3x 2|=5x-10

即是,3x 2=5x-10 或 3x 2=-(5x-10)

其中,5x-10≥0

分別解這兩個方程得:x=6或x=1

經檢驗,x=6位原方程的解

隨手一試:

解方程 |4x-3|-2=3x a(其中|3a-5 4|=8)